Системы счисления . 4
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ .. 10
Приложение . 11
ВВЕДЕНИЕ
В процессе изучения систем счисления особый интерес представляет так называемая "вавилонская", или шестидесятеричная система счисления, весьма сложная система, существовавшая в Древнем Вавилоне.
Мнения историков по поводу того, как именно возникла эта система счисления, расходятся.
Существуют две гипотезы .
Первая исходит из того, что произошло слияние двух племен, одно из которых пользовалось шестеричной, другое - десятичной. Шестидесятеричная система счисления в данном случае могла возникнуть в результате своеобразного политического компромисса.
Суть второй гипотезы в том, что древние вавилоняне считали продолжительность года равной 360 суткам, что естественно связано с числом 60. Отголоски использования этой системы счисления дошли до наших дней. Например: 1 час = 60 минутам, 1° = 60‘.
В целом шестидесятеричная система счисления громоздка.
Системы счисления
Интуитивное представление о числе, по-видимому, так же старо, как и само человечество, хотя с достоверностью проследить все ранние этапы его развития в принципе невозможно. Прежде чем человек научился считать или придумал слова для обозначения чисел, он, несомненно, владел наглядным, интуитивным представлением о числе, позволявшим ему различать одного человека и двух людей или двух и многих людей.
То, что первобытные люди сначала знали только "один", "два" и "много", подтверждается тем, что в некоторых языках, например в греческом, существуют три грамматические формы: единственного числа, двойственного числа и множественного числа. Позднее человек научился делать различия между двумя и тремя деревьями и между тремя и четырьмя людьми.
Счет изначально был связан с вполне конкретным набором объектов, и самые первые названия чисел были прилагательными. Например, слово "три" использовалось только в сочетаниях "три дерева" или "три человека"; представление о том, что эти множества имеют между собой нечто общее - понятие троичности - требует высокой степени абстракции. О том, что счет возник раньше появления этого уровня абстракции, свидетельствует тот факт, что слова "один" и "первый", равно как "два" и "второй", во многих языках не имеют между собой ничего общего, в то время как лежащие за пределами первобытного счета "один", "два", "много", слова "три" и "третий", "четыре" и "четвертый" ясно указывают на взаимосвязь между количественными и порядковыми числительными.
Названия чисел, выражающие весьма абстрактные идеи, появились, несомненно, позже, чем первые грубые символы для обозначения числа объектов в некоторой совокупности. В глубокой древности примитивные числовые записи делались в виде зарубок на палке, узлов на веревке, выложенных в ряд камешков, причем подразумевалось, что между пересчитываемыми элементами множества и символами числовой записи существует взаимно однозначное соответствие. Но для чтения таких числовых записей названия чисел непосредственно не использовались.
Ныне мы с первого взгляда распознаем совокупности из двух, трех и четырех элементов; несколько труднее распознаются на взгляд наборы, состоящие из пяти, шести или семи элементов. А за этой границей установить на глаз их число практически уже невозможно, и нужен анализ либо в форме счета, либо в определенном структурировании элементов. Счет на бирках, по-видимому, был первым приемом, который использовался в подобных случаях: зарубки на бирках располагались определенными группами подобно тому, как при подсчете избирательных бюллетеней их часто группируют пачками по пять или десять штук. Очень широко был распространен счет на пальцах, и вполне возможно, что названия некоторых чисел берут свое начало именно от этого способа подсчета.
Важная особенность счета заключается в связи названий чисел с определенной схемой счета. Например, слово "двадцать три" - не просто термин, означающий вполне определенную (по числу элементов) группу объектов; это термин составной, означающий "два раза по десять и три". Здесь отчетливо видна роль числа десять как коллективной единицы или основания; и действительно, многие считают десятками, потому что, как отметил еще Аристотель, у нас по десять пальцев на руках и на ногах. По той же причине использовались основания пять или двадцать.
На очень ранних стадиях развития истории человечества за основания системы счисления принимались числа 2, 3 или 4; иногда для некоторых измерения или вычислений использовались основания 12 и 60. Считать человек начал задолго до того, как он научился писать, поэтому не сохранилось никаких письменных документов, свидетельствовавших о тех словах, которыми в древности обозначали числа. Для кочевых племен характерны устные названия чисел, что же касается письменных, то необходимость в них появилась лишь с переходом к оседлому образу жизни, образованием земледельческих сообществ. Возникла и необходимость в системе записи чисел, и именно тогда было заложено основание для развития математики.
История появления вавилонской системы счисления
Вавилонская система счисления появилась в Древнем Вавилоне за 2000 лет до н.э. Она очень сильно повлияла на письменность в целом будущего мира.
Вавилонская система (шестидесятеричная) одна из первых известных систем счисления мира, основанная на позиционном принципе. Система счисления Вавилона сыграла огромную роль в развитии математики, астрономии и других точных наук будущего мира, ее следы находят по наши дни.
В наше время мы делим один час на 60 минут, а минуту делим на 60 секунд. Также окружность мы делим на 360 частей. Оказывается теми простыми делениями мы следуем примеру Вавилона!
В своем развитии человечество старалось совершенствовать запись чисел, которыми им приходилось пользоваться все чаще и чаще, у разных народов в разные времена употреблялись самые различные системы счета. В этой системе счисления числа составлялись из двух видов знаков. Прямой клин использовался для обозначения единиц, а лежачий клин - для обозначения десятков. Клинья в этой системе счисления использовались как цифры. Число 60 снова обозначалось тем же прямым клином, что и 1. Тем же знаком обозначались числа 3600 и 602, 216000 и 603, и все другие степени 60. Поэтому вавилонская система счисления называется шестидесятеричной.
Для того чтобы определить значения знака, надо было изображение этого числа разбить на разряды справа налево. Чередование групп имеющие одинаковые знаки соответствовало чередованию разрядов. Значение числа определялось по составляющим значениям его цифр, но с тем учетом, что цифры в каждом последующем разряде значили в 60 раз больше тех цифр в предыдущем разряде. В конце числа этот символ обычно не ставился, то есть этот символ не был нулем в нашем понимании.
Таблицу умножения в Вавилоне запомнить было практически невозможно. Вавилоняне пользовались готовыми таблицами умножения при вычислениях. В целом вавилонская система была очень громоздка и неудобна. Эта системы дала очень сильный толчок к развитию будущих систем счисления... Сейчас можно сказать с уверенностью, что если бы не было вавилонской системы счисления, то возможно мы бы сейчас либо пользовались другими системами, либо не могли просто считать.
Особенности вавилонской системы счисления
В Древнем Вавилоне, ок. 1650 до н.э., система счисления была псевдопозиционной или лишь относительно позиционной, поскольку не существовало эквивалента современной десятичной запятой, равно как и символа для обозначения отсутствующей позиции. Обозначал ли символ
число 1*(60)2 + 1 или 1*(60)2 + 1*(60), приходилось догадываться из контекста. Однако в период правления селевкидов, ок. 300 до н.э., эта неоднозначность была устранена введением специального символа в виде двух небольших клиньев, помещаемого на пустующее место, т.е. обозначающего пустую позицию в записи числа. Таким образом, из системы счисления была устранена отмеченная выше неоднозначность. Например, символ
означал число 3601, т.е. 1*(60)2 + 0*(60) + 1. В то же время не было найдено ни одной таблички с записью, в которой символ нуля находился бы в конце числа.
Именно поэтому вавилонскую систему мы считаем лишь относительно позиционной, ибо самый правый знак мог означать либо единицы, либо кратные какой-нибудь степени числа 60. Тем не менее изобретение вавилонянами позиционной системы счисления с нулем представляло собой огромное достижение, по своему революционному значению для математики сопоставимое разве лишь с более поздней гипотезой Коперника в астрономии.
Символы для обозначения чисел на вавилонских глиняных табличках не столь точны, как символы для обозначения чисел на древнеегипетских папирусах, несмотря на то, что вавилоняне использовали позиционный принцип.
В исключительных случаях вавилоняне применяли сокращенные формы записи, иногда - с новыми символами для обозначения чисел 100 и 1000, или использовали принципы умножения или вычитания. Однако превосходство разработанной в Месопотамии системы счисления отчетливо видно в обозначении дробей. Здесь не требовалось вводить новые символы. Как и в нашей собственной десятичной позиционной системе, в древневавилонской системе подразумевалось, что на первом месте справа от единиц стоят величины, кратные 1/60, на втором месте - величины кратные 1/602 и т.д. Привычное нам деление часа и углового или дугового градуса на 60 минут, а одной минуты - на 60 секунд берет начало от вавилонской системы счисления."
Но для записи чисел больше 59 древние вавилоняне впервые использовали новый принцип - одно из самых выдающихся достижений в развитии систем обозначений чисел - принцип позиционности, т.е. зависимости значения символа от его местоположения в записи числа. Вавилоняне заметили, что в качестве коллективных символов более высокого порядка можно применять уже ранее использованные символы, если они будут занимать в записи числа новое положение левее предыдущих символов. Так, один клиновидный знак мог использоваться для обозначения и 1, и 60, и 602, и 603, в зависимости от занимаемого им в записи числа положения, подобно тому, как единица в наших обозначениях используется в записях и 10, и 102, и 103, и в числе 1111. При обозначении чисел больше 60 знаки, выступающие в новом качестве, отличались от старых тем, что символы разбивались на "места", или "позиции", и единицы более высокого порядка располагались слева. При таком способе записи для обозначения сколь угодно больших чисел уже не нужно было других символов, кроме уже известных. Например, число 6789 можно было записать так:
«Перевод систем счисления» - Перевод целых чисел в 2, 8, 16-ю системы счисления. Десятичная. Восьмеричная. Перевод чисел из 2-ой системы счисления в 8-ую. Перевод чисел из 16-ой системы счисления в 10-ую. Над числами в двоичной системе счисления можно выполнять арифметические действия. Перевод чисел из 10-ой системы счисления в 8-ую.
«Числа и системы счисления» - Перевод чисел (10) ? (q). Двоичная арифметика. Позиционные системы счисления. Основание 10 у привычной десятичной системы счисления (десять пальцев на руках). Пример. Недостаток: быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел. Перевод чисел (2) ? (8), (2) ? (16). Правило счета. Двоичная система счисления.
«История чисел и систем счисления» - История цифр. Непозиционные системы счисления. Например: 0101101000112 = 0101 1010 0011 = 5A316. Позиционные системы счисления. Римские цифры появились около 500 лет до нашей эры у этрусков. Сложение чисел неограниченной длины. Цифры, использовавшиеся древними римлянами в своей не позиционной системе счисления.
«Вавилонское царство» - Рабов продавали, обменивали, дарили, передавали по наследству. Рабовладельчество. Древневавилонское государство достигло расцвета в царствование Хаммурапи (1792-50 до нашей эры). Висячие сады до… Даже изображения на кирпичах были посвящены кошкам. Население здесь занималось главным образом рыболовством, скотоводством и земледелием.
«История систем счисления» - Число представляло некий рисунок в котором количество углов соответствовало цифре. Время бежит все изменяется. Обычная система записи чисел который мы привыкли пользоваться жизни. История системы счисления. Средняя общеобразовательная школа с углубленным изучением математики МОУСОШ школа №125 . Десятичная система счисления.
«Примеры систем счисления» - Основание (количество цифр): 8 Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Шаг 2. Разбить на триады: Таблица шестнадцатеричных чисел. Тема 2. Двоичная система счисления. Перевод в восьмеричную и обратно. Системы счисления. Перевод в двоичную и обратно. Заем. Большинство дробных чисел хранится в памяти с ошибкой.
Слайд 2
Вавилонская шестидесятеричная система
За две тысячи лет до нашей эры, в другой великой цивилизации – вавилонской – люди записывали цифры по-другому. Числа в этой системе счисления составлялись из знаков двух видов: Прямой клин (служил для обозначения единиц) Лежачий клин (для обозначения десятков) Число 60 обозначалось знаком, что и 1
Слайд 3
Для определения значения числа надо было изображение числа разбить на разряды справа налево. Чередование групп одинаковых знаков («цифр») соответствовало чередованию разрядов: Значение числа определяли по значениям составляющих его «цифр», но с учетом того, что «цифры» в каждом последующем разряде значили в 60 раз больше тех же «цифр» в предыдущем разряде.
Слайд 4
1. Число 92 = 60 + 32 записывали так: 2. Число 444 имело вид: НАПРИМЕР: 444 = 7*60 + 24. Число состоит из двух разрядов
Слайд 5
Для определения абсолютного значения числа требовались дополнительные сведения. Впоследствии вавилоняне ввели специальный символ для обозначения пропущенного шестидесятичного разряда, что соответствует в десятичной системе появлению цифры 0 в записи числа. Число 3632 записывалось так: В конце числа этот символ обычно не ставился. Таблицу умножения вавилоняне никогда не запоминали, т.к. сделать это было практически невозможно. При вычислениях они пользовались готовыми таблицами умножения.
Слайд 6
Шестидесятеричная вавилонская система – первая известная нам система счисления, основанная на позиционном принципе. Система вавилонян сыграла большую роль в развитии математики и астрономии, ее следы сохранились до наших дней. Так, мы до сих пор делим час на 60 минут, а минуту на 60 секунд. Окружность мы делим на 360 частей (градусов).
Слайд 7
РИМСКАЯ СИСТЕМА
В римской системе для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 используются заглавные латинские буквы I, V, X, L, C, D и M (соответственно), являющиеся «цифрами» этой системы счисления. Число в римской системе счисления обозначается набором стоящих подряд «цифр».
Слайд 8
Таблица обозначения чисел римскими цифрами
Слайд 9
Календарь на каменной плите (3 – 4 вв.), найденный в Риме
Слайд 10
ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ
Для записи чисел используются десять различных знаков: цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Некогда написание цифр было таким: Такое изображение десятичных цифр не случайно. Каждая цифра обозначает число, соответствующее количеству углов в ней.
Слайд 11
ЯСАЧНЫЕ ГРАМОТЫ
В старину на Руси среди простого народа широко применялись системы счисления, отдалённо напоминающие римскую. С их помощью сборщики податей заполняли квитанции об уплате подати – ясака (ясачные грамоты) и делали записи в податной тетради. копейка десять копеек один рубль десять рублей сто рублей 232 рубля 24 копейки
Посмотреть все слайды
“ Потому что все оттенки смысла
умное число передает ”
Николай Гумилев.
Системы счисления
Редактор материала учитель ИКТ МБОУ ЦО – гимназии №11 г. Тулы Акимов Д.Ф.
Что такое цифра?
Цифра – это письменный знак, изображающий число.
Система нумерации – способ соединения цифр для изображения больших чисел.
Рассмотрим системы нумерации некоторых народов.
Древнегреческая аттическая нумерация
Числа 1,2,3,4 обозначались черточками I, II, III, IIII, а число 5 записывали знаком Г (древнее начертание буквы “Пи”, с которой начинается слово “пенте” - пять.
Числа 6,7,8,9 обозначались ГI, ГII, ГIII, ГIIII, а число 10 обозначалось ▲ (начальная буква в слове “десять”)
Числа 100,1000 и 10000 обозначались Н, Х, М – начальными буквами соответствующих слов.
Числа 50,500 и 5000 обозначались комбинациями знаков 5 и 10, 5 и 100, 5 и 1000, а именно
Остальные числа в пределах первого десятка тысяч записывались так:
H H ГI = 256; X X I = 2051;
H H H ▲ ▲ ▲ I I = 382; X X H H H = 7800 и т.д.
Ионийская нумерация чисел
В третьем веке до н.э. аттическая нумерация была вытеснена так называемой ионийской системой. В ней числа 1-9 обозначаются первыми девятью буквами алфавита:
числа 10, 20, 30,…, 90 следующими девятью буквами:
числа 100, 200, 300,…, 900 последними девятью буквами:
Для обозначения тысяч и десятков тысяч пользовались теми же цифрами с добавлением особого значка ’ сбоку:
’ α=1000 ’ β=2000 и т.д.
Ионийская нумерация чисел
Для отличия цифр от букв, составляющих слова, писали черточки над цифрами
Ιη=18; μζ=47; υζ=407; χκα=621; χκ=620 и т.д.
α=1 β=2 γ=3 δ=4 ε=5 ς =6 ζ=7 η=8 θ=9
Альфа бэта Гамма дельта эпсилон фау дзета эта тэта
ι=10 κ =20 λ=30 μ=40 ν=50 ξ=60 ο=70 π=80 Ϥ=90
йота каппа ламбда мю ню кси омикрон пи коппа
ρ=100 σ=200 τ=300 υ=400 φ=500 χ=600 ψ=700 ω=800 ϡ=900
ро сигма тау юпсилон фи хи пси омега сампи
Такую же алфавитную нумерацию имели в древности евреи, арабы и многие другие народы Ближнего Востока и неизвестно, у какого народа она возникла впервые.
Славянская нумерация
Южные и восточные славяне для записи чисел пользовались алфавитной нумерацией. У русских народов роль цифр играли не все буквы, а только те, которые имеются в греческом алфавите. Над буквой, обозначавшей букву ставился спец. значок – “ титло ”.
В России славянская нумерация сохранилась до конца 17 века. При Петре I возобладала арабская нумерация (пользуемся сейчас) . Славянская нумерация сохранялась только в богослужебных книгах. Приведем славянские цифры:
Α Β Γ Δ Ε S Ζ И Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ч Ρ С Τ Υ Φ Χ Ψ Ω Ц
- 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 200 300 400 500 600 700 800 900
Κ Α =21 ΜΕ=45 ΨΒ=702 СΒ=202
В древнем Вавилоне ≈ за 40 веков до нашего времени создалась поместная (позиционная) нумерация, т.е. такой способ изображения чисел, при котором одна и та же цифра может обозначать разные числа, смотря по месту, занимаемому этой цифрой. В вавилонской системе ту роль, которую у нас играет число 10, играло число 60, поэтому эту нумерацию называют шестидесятеричной .
Числа, меньшие 60, обозначались с помощью двух знаков: для единицы и для десятка
Они имели клинообразный вид, т.к. вавилоняне писали на глиняных дощечках палочками треугольной формы. Эти знаки повторялись нужное число раз
Вавилонская поместная нумерация
Способ обозначения чисел, больших 60, показан на рис:
5*60+2=302 21*60+35=1295
1*60*60 + 2*60 +5 =3725
Вавилонская поместная нумерация
При отсутствии промежуточного разряда употреблялся знак, игравший роль нуля.
Например, запись обозначала 2*60*60 + 0*60 +3 =7203
60-ричная запись целых чисел не получила распространения за пределами ассиро-вавилонского царства, но 60-ричные дроби проникли далеко за пределы: в страны ближнего Востока,Средней Азии, в Сев. Африку и Западную Европу. Следы 60-ричных дробей сохраняются поныне в делении углового и дугового градуса на 60 мин. и минуты на 60 секунд.
Римские цифры
Древние римляне пользовались нумерацией, которая сохраняется до настоящего временем под именем “римской нумерации”. Мы пользуемся ею для обозначения юбилейных дат, наименования съездов, нумерации глав в книгах и т.д.
В позднейшем своем виде римские цифры выглядят так:
I=1 V=5 X=10 L=50 C=100 D=500 M=1000
О происхождении римских цифр достоверных сведений нет. Цифра V могла служить изображением кисти руки, а цифра Х могла составиться из двух пятерок.
В римской нумерации явственно сказываются следы пятеричной системы. В языке же римлян (латинском) никаких следов 5-ричной системы нет. Значит, эти цифры были заимствованы римлянами у другого народа (вероятно у этрусков).
Римские цифры
Все целые числа (до 5000) записываются с помощью повторения вышеприведенных цифр. При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются, если же меньшая стоит перед большей (в этом случае она не может повторяться), то меньшая вычитается из большей. Например:
VI=6, т.е. 5+1 IV=4, т.е. 5-1
XL=40, т.е. 50-10 LX=60, т.е. 50+10
Подряд одна и та же цифра ставится не более 3 раз.
LXX=70;LXXX=80;число 90 записывается XC (а не LXXXX).
Примеры: XXVIII=28; XXXIX=39; CCCXCVII=397;
MDCCCXVIII=1818.
Выполнение арифметических действий над многозначными числами в этой системе очень трудно. Тем не менее, римская нумерация преобладала в Италии до 13 века, а в других странах Западной Европы – до 16 века.
Индийская поместная нумерация
В различных областях Индии существовали различные системы. Одна из них распространилась по всему миру и сейчас является общепринятой. В ней цифры имели вид начальных букв соответствующих числительных на древнеиндийском языке – санскрите (алфавит “деванагари”).
Первоначально этими знаками представлялись числа 1,2,3,…9,10,20,30,…90,100,1000; с их помощью записывались другие числа.
В последствии был введен особый знак (жирная точка, кружок) для указания пустующего разряда; знаки для чисел, больших 9, вышли из употребления, и нумерация деванагари превратилась в 10-ричную поместную систему.
Как и когда совершился этот переход – до сих пор не известно. В середине 8 века позиционная система нумерации получает в Индии широкое применение.
Индийская поместная нумерация
Примерно в это время она проникает в другие страны (Индокитай, Китай, Тибет, Иран, территория среднеазиатских республик). Решающую роль в распространении индийской системы сыграло руководство, составленное в начале 9 века узбекским ученым Аль-Хорезми (Китаб ал-джебр в’алнукабала). Это руководство в Зап. Европе было переведено на лат. язык в 12 веке. В 13 веке индийская нумерация получает преобладание в Италии. В других странах Зап. Европы она утверждается в 16 веке.
Европейцы, заимствовавшие инд. нумерацию от арабов, называли ее “арабской”. Это исторически неправильное название удерживается и поныне.
Индийская поместная нумерация
Из арабского языка заимствовано и слово цифра (по арабски “сыфр”), означавшее буквально “пустое место”.
Это слово первоначально употреблялось для наименования знака пустующего разряда и этот смысл сохраняло еще в 18 веке, хотя уже в 15 веке появился латинский термин “нуль” (nullum - ничто).
Форма индийских цифр претерпевала многообразные изменения. Та форма, в которой мы их пишем сейчас, установилась в 16 веке.
Система счисления – это способ записи чисел с помощью цифр и символов.
C.C. делятся на позиционные и непозиционные
В позиционной С.С. вес цифры зависит от ее местоположения, “позиции” в числе (60-ричная вавилонская, наша 10-ричная)
Основанием (базисом) С.С. называется количество цифр и символов, используемых в ней. Основание С.С. показывает, во сколько раз численное значение единицы данного разряда больше численного значения единицы предыдущего разряда.
Столь привычная для нас 10 С.С. оказалась неудобной для ЭВМ (реализовать элемент с 10 состояниями сложно, а с двумя – легко). Поэтому в памяти ЭВМ информация представляется в двоичной С.С.
Двоичная система счисления
В 2 с.с. используются всего две цифры:0 и 1. Основание 2 с.с. записывается как 10. Например, представление числа 8 в 2 с.с. выглядит так: 1000 2 =8 10
1*2 3 +0*2 2 +0*2 1 +0*2 0 =8
Арифметические действия в 2 с.с. выполняются по тем же правилам, что и в 10 с.с. , только в 2 с.с. перенос единиц в старший разряд возникает чаще, чем в 10 с.с.
Таблица сложения Таблица вычитания Таблица умножения
0+0=0 0-0=0 0*0=0
0+1=1 1-0=1 0*1=0
1+0=1 1-1=0 1*0=0
1+1=10 10-1=1 1*1=1
Десятичное Двоичное
Десятичное Двоичное
Двоичная система счисления Примеры
1. Поскольку основание 2 с.с. мало, для записи даже не очень больших чисел приходится использовать много знаков. Например, число 1000 записывается в 2 с.с. с помощью десяти цифр:
1000 10 = 1111101000 2 = 2 9 + 2 8 + 2 7 + 2 6 + 2 5 +2 3
Однако этот недостаток окупается преимуществами, связанными с аппаратной реализацией (по принципу “Да-Нет” работают все полупроводниковые элементы).
2. Естественные возможности человеческого мышления не позволяют быстро и точно оценить величину числа, представленного, например, комбинацией из 16 нулей и единиц.
Недостаток двоичной системы счисления
Для облегчения восприятия человеком двоичного числа решили разбивать его на группы разрядов, например, по 3 или 4 разряда. Эта идея оказалась удачной, т.к. последовательность из 3 бит имеет 8 комбинаций, а последовательность из 4 бит - 16 комбинаций. Числа 8 и 16 являются степенями двойки, поэтому легко будет находить соответствие с двоичными числами.
Развив эту идею, пришли к выводу, что группы разрядов можно закодировать, сократив при этом длину последовательности знаков. Для кодировки трех битов (триад) требуется 8 цифр, и поэтому взяли цифры от 0 до 7 десятичной с.с. Для кодировки же четырех битов (тетрад) необходимо 16 знаков, для этого взяли 10 цифр десятичной с.с. и 6 букв лат. алфавита A, B, C, D, E, F. Полученные системы назвали 8-ричной и 16-ричной.
Десятичное
8-ричное число
число
Последователь-ность из триад
16-ричное число
Последователь-ность из тетрад
Метод триад и тетрад
Для преобразования дв. числа в восьмеричное число необходимо двоичную последовательность разбить на триады справа налево и каждую триаду заменить соответствующей 8-ричной цифрой. Аналогично и при преобразовании в 16-ричный код, только двоичную последовательность разбиваем на тетрады, а для замены используем 16-ричные знаки.
Например:
надо перевести 1101011101 из дв. в 8-ричную с.с.
- Разбиваем на триады справа налево.
2. Каждую триаду заменяем соответствующей 8-ричной цифрой 1 5 3 5. Это и будет ответ.
001 101 011 101 2 =1535 8
Метод триад и тетрад
Так же просто осуществляется и обратное преобразование – для этого каждую цифру 8 или 16-ричного числа заменяют группой из 3 или 4 бит. Например:
AB51 16 =1010 1011 0101 0001 2
177204 8 = 1 111 111 010 000 100 2
Выполнение арифметических действий
При работе в 8- и 16-ричной с.с. надо помнить, что если имеет место перенос, то переносится не 10, а 8 или 16. Примеры:
27,2643 8 _ 115,3564 8
46,1154 8 55,7674 8
75,4017 8 37,3670 8
287,АВ _ EC2A,82
2ЕD,0D 16 2EAD,E8
Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Итак, мы освоили 4 системы счисления”
“ машинную” – двоичную;
“ человеческую” – десятичную
и две промежуточные - 8 и16-ричную.
Каждая из них применяется в различных процессах, связанных с ЭВМ:
2 с.с. – для организации машинных операций по преобразованию информации;
8 и16 с.с. – для представления машинных кодов в виде, удобном для работы профессиональных пользователей (программистов и аппаратчиков);
10 с.с. – для представления результатов деятельности ЭВМ, отображаемых на устройствах ввода/вывода.
Поэтому в машине постоянно происходят процессы преобразования чисел из одной с.с. в другую.
Перевод чисел в 10 с.с. выполняется способом суммирования с учетом веса разрядов
1101,011 2 =1*2 3 +1*2 2 +1*2 0 +1*2 -2 +1*2 -3 = =8+4+1+0,25+0,125= 13,375
142,4 8 =1*8 2 +4*8 1 +2*8 0 +4*8 -1 = =64+32+2+0,5= 98,5
12E,6 16 =1*16 2 +2*16 1 +14*16 0 +6*16 -1 = =256+32+14+0,375= 302,375
Перевод чисел из 10 с.с. в другую систему
Обычно выполняется методом последовательного деления исходного числа на основание с.с. Полученный остаток после первого деления является младшим разрядом нового числа. Образовавшееся частное снова делится на это основание. Из остатка получаем следующий разряд нового числа и т.д.
Пример: _212 2 212 10 =11010100 2
Переведем десятичное число31318 в 8 с.с.
Пример2: _31318 8 31318 10 =75126 8
Переведем десятичное число 286 в 16 с.с.
Пример3: _286 16 286 10 =11Е 16
Список использованной литературы
- С.И. Фомин. Популярные лекции по математике. Выпуск 40. Системы счисления. М.: Наука, 1980.
- М.Я. Выгодский. Справочник по математике.
До нас дошла римская система записи чисел
Применяется более 2500 лет.
В качестве цифр в ней используются латинские буквы:
Например:
CXXVIII = 100 +10 +10 +5 +1 +1 +1=128
Позиционной называют систему счисления, в которой количественное значение цифры зависит от ее положения в числе.
Вавилонская система счисления
Первая позиционная система счисления была придумана еще в древнем Вавилоне, причем вавилонская нумерация была шестидесятеричной , то есть в ней использовалось шестьдесят цифр!
Числа составлялись из знаков двух видов:
Единицы – прямой клин
Десятки – лежачий клин
Позиционные системы счисления
Наиболее распространенными в настоящее время являются
Десятичная - двоичная
Восьмеричная
-шестнадцатеричная позиционные системы
счисления.
Десятичная система
счисления
Любое число мы можем записать при помощи десяти цифр:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Именно поэтому наша современная система счисления называется
десятичной.
Известный русский математик Н.Н.Лузин так выразился по этому поводу:
«Преимущества десятичной системы счисления не математические, а зоологические. Если бы у нас было на руках не десять пальцев, а восемь, то человечество бы пользовалось восьмеричной системой счисления.»
Десятичная система счисления
Хотя десятичную систему счисления принято называть арабской , но зародилась она в Индии , в V веке.
В Европе об этой системе узнали в ХII веке из арабских научных трактатов, которые были переведены на латынь.
Этим и объясняется название «Арабские цифры».
Однако широкое распространение в науке и в обиходе десятичная система счисления получила только в XVI веке. Эта система позволяет легко выполнять любые арифметические вычисления, записывать числа любой величины. Распространение арабской системы дало мощный толчок развитию математики.
Арабская нумерация
Возобладала при Петре I
Как видоизменялись цифры, употреблявшиеся арабами , пока они не приняли современные формы:
Была придумана задолго до появления компьютеров. Официальное рождение двоичной арифметики связано с именем Г. В. Лейбница, опубликовавшего в 1703 г. статью, в которой он рассмотрел правила выполнения арифметических действий над двоичными
числами. Ее недостаток – «длинная» запись чисел.
В настоящий момент – наиболее употребительная в информатике, вычислительной технике и смежных отраслях система счисления. Использует две цифры:
0 и 1
Свернутая форма записи числа: 101 2
Развернутая форма: 101 =1*22 +0*21 +1*20
Все числа в компьютере представляются
с помощью нулей и единиц, т. е. в двоичной системе счисления.
Позиционная система счисления
За основание позиционной системы можно принять любое натуральное число больше единицы.
Основание системы, к которой относится число, обозначается подстрочным индексом к этому числу.
1110010012 |
356418 |
43B8D16 |
Пример : основание десятичной системы счисления =10